역학 혁명

1) 갈릴레이 역학(Mechanics)

자연의 현상을 관측과 실험을 통하여 문제를 제기하고 이해하려고 시도했다. 그 당시 이와 같은 시도는 획기적인 것이다. 하지만 현상에 대한 이론적 근거는 제시하지 못했다. 그의 역학을 소개하면

(i) 재료의 크기가 증가하면 부피가 증가하고 무게가 증가함으로 부서지기 쉽다.

(ii) 자유 낙하운동에 관하여 : 그는 실험을 통하여 낙하속도[eqn: v]는 시간에 비례하고

([eqn: v= gt] , [eqn: g]: 비례상수), 낙하거리[eqn: s]는 시간의 제곱에 비례한다([eqn: s= 1over2 g t^2])는 것을 관측했다. (물체의 낙하시간은 물체의 종류에 의존하지 않는다는 사실을 실험으로 증명). 이러한 등가속도운동을 기하학적 도형을 사용하여 증명했지만, 이러한 운동의 원인에 대해 설명하지 못했다.

(iii) 관성의 원리에 관하여 : 그는 사고 실험(thought experiment)을 통하여 관성의 원리와 힘의 개념을 설명했다: 이래 그림에서

A                             C

X

B

공이 경로 A→B→C로 움직이는 운동과 경로 A→B→X를 통하여 움직이는 운동을 비교했다. A→B의 운동에서 공은 외부의 요인(공을 가속시키는)에 의해 속도가 빨라지고 경로 B→C에서 외부의 영향(감속시키는)에 의해 공의 속도가 감소한다. 반면에 B→X 경로에서는 외부의 영향이 존재하지 않으므로 공은 관성을 가지고 계속 운동하려고 한다. 외부 영향을 힘이라 했다.

(iv) 포물선 운동 : 수평방향의 관성운동과 연직 방향의 자유낙하 운동의 합성 운동.

(v) 실제론: 자연의 진리는 우주라는 큰 책 속에 존재하며, 자연의 언어는 도형이며 수학이 자연을 이해하기 위해서는 도형을 알아야 한다고 했다.

2) 뉴턴의 역학

운동의 법칙과 만유인력 법칙

뉴턴의 운동법칙은 관성의 법칙, 가속도의 법칙, 그리고 작용-반작용의 법칙이다. 이 법칙들은 거시적(macroscopic) 자연세계의 일반적인 운동법칙을 설명한 것이다. 그는 이러한 운동의 원리를 절대공간과 절대시간 개념을 도입하여 수학적으로 표현했다.

i) 관성의 법칙 : 외부의 영향이 존재하지 않는 상황에서 정지해 있는 물체는 항상 정지해 있으며, 운동하는 물체는 계속 운동한다.

ii) 가속도의 법칙 : 외부의 영향(뉴턴은 힘의 개념을 사용)이 존재하는 경우에 물체의 운동은 속도의 변화로 나타나고(가속도), 그 변화의 크기는 물체가 가지고 있는 고유한 성질(뉴턴은 질량의 개념을 사용)에 의존한다. 이것은 수학적으로

[eqn: F= ma]                                      (1)

간략히 표현되어진다. 속도는 단위 시간에 물체의 공간의 이동정도를 표현하는 것으로 수학적으로 [eqn: v= dx over dt] 표현할 수 있다, 여기서[eqn: dx]는 위치의 변화 그리고[eqn: dt]는 시간의 변화를 나타낸다. 그렇다면 가속도는 속도의 변화(시간당)이므로[eqn: a= dv over dt]형태로 표현할 수 있을 것이다.[eqn: F]는 힘으로 외부적 영향을 표시하며, [eqn: m]은 물체의 질량을 나타낸다.

뉴턴이 물체의 운동에서 힘의 개념을 사용한 이유는 □모든 변화는 (운동 또한 시간적 변화) 원인이 있기 때문□(인과법칙, Causality)이라는 철학적인 명제에서 출발했고 그 원인을 규명하려는 시도에서 나온 개념이다. 위의 식에서 질량의 개념을 이해하기 위해 다음과 같이 가정해보자: 종류가 다른 두 물체에 똑 같은 외부의 영향(힘)이 작용한다고 가정한다면 두 물체는 다른 가속도를 가질 것이다. 역으로 다른 두 물체가 똑 같은 가속도를 얻었다고 가정한다면, 두 물체 각각에 가해진 외부의 힘은 같을 수 없다. 따라서 물체의 질량이라는 개념은 힘에 의해 나타나는 변화(운동)에 따르는 물체의 고유적인 성질로 이해할 수 있을 것이다. 이러한 개념에 우리는 편의상(인간의 약속에 준하여) 단위를 만들고 수량화한다.

『참조: 뉴턴의 가속도 법칙을 수학적으로 분석해보면

[eqn: F= ma = m dv over dt]  ∀ [eqn: dv over dt = F over m] ∀ [eqn: dv = F over m dt] ∀

[eqn: int_{v_0}^v dv = v- v_0 = int_0^t F over m dt] , [eqn: v= v_0 + int_0^t F over m dt]

예를 들어 외부의 영향이 중력이라는 힘이라고 가정한다면, 즉 [eqn: F=mg] ([eqn: g]는 중력 상수, 9.8 [eqn: rm m/sec^2])인 경우, 위의 식에서

[eqn: v= v_0 + int_0^t mg over m dt = v_0 + int_0^t g dt = v_0 + gt]

을 얻을 수 있다. 어떤 높이에서 물체의 자유낙하를 생각한다면, 즉 초기 속도[eqn: v_0]는 zero,

따라서 물체의 낙하속도는 [eqn: v= gt] 이다. 그리고 이 결과는 다시

[eqn: v= dx over dt = gt]  ∀  [eqn: dx= gt{} dt]  ∀ [eqn: int_{x_0}^x dx = x - x_0 = int_0^t gt {}dt = 1over 2 gt^2]

즉

[eqn: x= x_0 + 1over 2 gt^2]                                (2)

물체의 낙하거리[eqn: x]을 구할 수 있다. (2)식에서 볼 수 있듯이 물체의 낙하 거리는 질량에 무관함을 알 수 있다, 즉 물체의 종류에 의존하지 않는다. 이 결과들은 갈릴레이가 실험을 통하여 얻었던 결과와 일치하는 것이다. 』

(iii) 작용 반작용의 법칙:

힘이 물체[eqn: A]에 작용하면 그 힘을 작용하는 다른 물체[eqn: B]가 반드시 존재해야만 한다. 또한 [eqn: B]가 [eqn: A]에 힘을 작용한다면, [eqn: A]는 크기는 같고 방향이 반대인 힘을 [eqn: B]에 작용해야만 한다. 이 법칙은 힘의 성질을 표현한 것이다.

[eqn: A]                    [eqn: B]

[eqn: F]        [eqn: -F]

만유인력법칙

모든 물체 사이에는 인력이 작용하며, 그 크기는 두 물체의 질량에 비례하고 두 물체 사이의 거리의 역자승에 비례한다. 두 물체의 질량을 각각[eqn: m_1 , m_2]라하고 두 물체 사이의 간격을 [eqn: r]이라고 한다면 인력은 다음과 같이 표현된다.

[eqn: F = G {m_1 m_2}over r^2]                                 (3)

여기서 [eqn: G]는 만유인력상수이다. 이 법칙은 지구의 중력과 태양계 내의 위성들의 운동에 대한 원인을 설명해준다.

지구의 중력은 지구 가까이 근접해 있는 물체가 지구에 의해 받는 힘을 의미한다. 그렇다면 지구의 질량을[eqn: M]이라 하고 지구의 반경을[eqn: R], 질량[eqn: m]인 물체가 높이[eqn: h]에 있다고 가정해보자. (아래 그림)

[eqn: m]

[eqn: h]

[eqn: R]

[eqn: M]    Earth

만유인력법칙에 의해 물체가 받는 힘은 (3)식에 의하면

[eqn: F = G {M m}over (R+h)^2]

주어진다. 이 같은 외부 힘에 의해 물체는 뉴턴의 운동법칙(가속도법칙)에 의해 가속도를 운동하게된다. 즉

[eqn: F = G {M m}over (R+h)^2 = ma]

이 식을 다시 간략히 하면

[eqn: a = G M over (R+h)^2 simeq G M over R^2 = 9.8 rm m/sec^2 =g]

지구 반경[eqn: R](6370 km)에 비해 높이[eqn: h]가 작다고 가정한다면 가속도[eqn: a]는 일정한 중력가속도[eqn: g]와 일치한다. [eqn: h]가 매우 크다고 가정한다면 [eqn: a]는 zero에 가깝게 작아질 것이다. 이 상태가 바로 대기권 밖의 무중력 상태인 것이다.

물체의 원운동에서 원이라는 기하학적 특성 때문에 가속도(속도의 변화)는 항상 원 중심 방향으로 향한다. 이를 구심가속도라 한다. 다시 말해 물체가 원운동을 하기 위해서는 반드시 구심력이 존재해야만 한다. 이 구심력 역할을 하는 것이 만유인력이며, 그래서 위성이 태양 주위를 공전할 수 있는 것이다. 이러한 원리로 케플러가 별의 관측을 통해 얻은 법칙을 설명, 수학적 증명이 가능하다.

(※ 물체와 물체 사이에 만유인력이 어디에서부터 오는지는 아직 아무도 모른다. 神만이 알고 있다)

뉴턴 역학의 특징은 결정적 인과법칙(Law of deterministic causality)이다. 다시 말해 모든 운동 혹은 일어나는 현상은 원인이 있으며, 그리고 처음 물체의 상태(위치, 속도)를 알고 있다면 시간이 지난 나중의 물체의 상태를 예측(결정)할 수 있다는 것이다.

뉴턴의 절대공간과 절대 시간 :

뉴턴은 자연의 법칙을 공간과 시간 안에서 경험할 수 있는데, 자연의 법칙이 관측하는 관측자에 상관없이 일정하게 주어지는 공간을 관성계(Inertia System)라고 정의하고, 이 관성계를 절대공간으로 간주할 수 있다고 했다. 다시 말해 관성계는 정지해 있는 관측자에 주어지는 직교좌표계(유클리드 공간)나 일정한 속도로 직선 운동하는 직교좌표계를 의미한다. 이와 같은 관성계에서는 일어나는 자연 현상은 같은 법칙을 따른다는 것이다. 즉 뉴턴은 한 관성계에서 일어나는 현상에 대한 법칙을 다른 관성계에 있는 관측자가 관측할 때의 현상은 같은 법칙을 따른다는 의미이다. 그리고 다른 관성계에 있는 관측자가 이러한 법칙을 표현하기 위해서는 좌표변환을 해야한다. 이 좌표변환을 갈릴레이 좌표변환이라 한다.

×event

[eqn: r=(x,y,z)]                    [eqn: bold v] (일정)

갈릴레이 좌표변환

관측자 [eqn: A]의 기준계                                 관측자 [eqn: B]의 기준계

[eqn: x_A = x_B - v_x t , {}{}y_A =y_B , {}{}z_A = z_B , {}{} t_A = t_B]

모든 법칙은 이러한 갈릴레이 변환을 했을 때에 불변해야한다는 것이다. 따라서 이러한 관성계를 절대 공간으로 간주 할 수 있다는 것이다.

뉴턴의 절대 시간은 모든 관측자들에 동일하게 주어지며, 주어진 공간에 상관없이 한 방향으로 연속적으로 일정하게 흘러가는 것으로 간주했다. 다시 말해 뉴턴의 시공간 개념은 아래 그림과 같이 표현할 수 있을 것이다:

[eqn: r]

× event2

×event1

과거       0             미래      [eqn: t]

뉴턴의 세계관