물리학 1 학기말 고사 답안지

일 시 : 2004년 6월 10일 목요일 10:30-11:30 PM

주 의 : Honesty is the best policy!

1. (20점) 밑면이 a이고 높이가 b인 직각 삼각형의 질량중심을 구하라.

직각 삼각형의 꼭지점은 (x,y) 좌표 계에서 원점, (a,0), (a,b) 에 놓여있다.

sol) [eqn: x_cm = {int x dm} over {int dm}][eqn: = {int x dA} over {int dA}] = [eqn: 2 over 3 a]

왜냐하면 분자=[eqn: int_0^a xydx=int_0^a x (b/ax)dx = {a^2 b} over 3]

분모 = [eqn: int_0^a ydx=int_0^a (b/ax)dx = {a b} over 2]

[eqn: y_cm = {int y dm} over {int dm}][eqn: = {int y dA} over {int dA}] = [eqn: 1 over 3 b]

왜냐하면 분자 = [eqn: int_0^b y (a-x)dy=int_0^b y (a-a/by)dy = {ab^2} over 6]

2. (20점) 속이 찬 실린더가 높이 h, 각도 □의 경사면을 미끄러지지 않고, 굴러서 꼭대기에서 내려오고 있다.  (a) 반경이 R인 속이 찬 실린더의 관성 모멘트를 구하라.

(b) 바닥에서의 질량 중심의 선속도를 구하라.

sol) (a) [eqn: I = {int r^2 dm} = rho {int r^2 dV}] , [eqn: dV =h 2pi r dr]

[eqn: I=][eqn: rho Int_0^R r^2 (h 2pi r dr) = rho 2pih int_0^R r^3 dr = 1 over 2 rho pi h R^4 = 1 over 2 MR^2]

([eqn: M = {int dm} = rho {int dV}] = [eqn: rho Int_0^R (h 2pi r dr) = rho 2pih int_0^R r dr = rho pi h R^2])

(b) 에너지 보존의 법칙에서

[eqn: Mgh = 1 over 2 m v_CM^2 +{1 over 2} I w^2] 여기서 [eqn: w={v_CM over R}] 그러므로

[eqn: Mgh = 1 over 2 m v_CM^2 +{1 over 2} I V_CM^2 over R^2] or [eqn: v_CM = sqrt { 2Mgh over{ M + I/ R^2}}] put [eqn: I = 1 over 2 M R^2]

그러므로 [eqn: v_CM = sqrt { 4 over 3 gh }]

3. (20점) 물이 탱크에 [eqn: 10^-4 m^3 /sec]의 양으로 유입된다. 그러나 바닥에 [eqn: 0.1 cm^2]의 구멍이 나있어 방출되고 있다. 최대 높이 h에서 물이 유입되는 양과 유출되는 양이 같다고 한다. (a) Point 2 에서 유출되는 물의 속도의 크기[eqn: v_2]는 얼마인가? (b) 평형상태일 때 탱크의 최대 높이 h가 얼마인가? (단, 중력가속도는 [eqn: 10 m/sec^2]으로 두고 풀어라.)

sol) (a) 유입량 = 방출량

[eqn: A_1 v_1 = A_2 v_2] 문제에서 [eqn: A_1 v_1 = 10^-4 m^3 /sec] 그리고  [eqn: A_2 = 1 times 10^-5 m^2]

그러므로 [eqn: v_2 = 10 m/sec]

(b) 베르누이 방정식[eqn: p_1 + rho g h_1 + 1 over 2 rho v_1^2 =p_2 + rho g h_2 + 1 over 2 rho v_2^2]이다.

포인트1에서 [eqn: h_1 = h], 포인트2에서 [eqn: h_2 = 0] 라고 두고 [eqn: P_1, P_2]는 대기압으로 같다. 그러므로 [eqn: rho g h= 1 over 2 rho v_2^2]  or [eqn: h= 1 over 2g v_2^2] 따라서 [eqn: h= 1 over 2g v_2^2] [eqn: = 1 over {2 times 10 m/sec^2} {(10m/sec)}^2 =] [eqn: 5 m]

4. (20점) (a) 카르노 기관은 무엇인가? [eqn: 327^o]C와 [eqn: 27^o]C사이에 움직이는 카르노 기관의 효율  은 얼마인가?

(b) 500°K의 열원에서 1000J의 에너지를 받아 300°K의 열원으로 700J의 열을 방출하는 열기관이 가능한지 열역학 법칙에 따라 설명하라?

sol) (a)  카르노 기관이란 최대 열효율을 가지는 이상적인 열기관으로 순환의 모든 과정이 가역적 과정이다. [eqn: e_c = {600 K - 300 K} over {600 K} = 0.5]

(b) 카르노 기관의 열효율은 [eqn: e_c = {500 K - 300 K} over {500 K} = 0.4]이다. 열기관의 효율을 [eqn: e = {1000 J - 700 J} over {1000 J} = 0.3] 이며 카르노 기관의 열효율 보다 작으므로 가능하다.

5. (20점) 양(+) 방향으로 진행하는 사인형 파를 만드는 진동자에 줄이 매달려 있다. 이 진동자의  진동수가 5.00 Hz 이며 이 운동의 진폭은 12.0 cm이고 파의 속력은 20.0 m/sec 이다. t=0, x=0 에서의 변위는 12.0 cm 일때. (a) 파수 k,  주기 T, 각진동수 □를 구하라. (b) 위상상수 □와 파동함수를 구하라.

sol) 파동함수는[eqn: y=Asin(kx-wt-phi)] 로 주어진다.

(a) [eqn: k = 2pi over lambda = 2pi over 4.00 m = 1.57 rad/ m]

[eqn: T = 1 over f = 1 over {5.00 /sec} = 0.200 sec]

[eqn: w = 2pi f = 2pi times 5.00/sec = 10 pi/sec]

(b) [eqn: y = 0.120 m sin(1.57x (rad/m) -10pi t /sec - phi)]

at t=0, x=0를 위식에 대입하면 [eqn: 0.120m sin(-phi) = 0.120 m] or [eqn: sin(-phi)=1] or [eqn: phi = - pi over 2] 그러므로, 파동함수는 [eqn: y = 0.120 m cos(1.57x (rad/m) -10pi t /sec)]